(之前我在別區寫的有點粗糙,我在這裡會描述得更完整,方便各位帶小孩玩時更順利。)
數列這類數學推理題目,基本上只要掌握二件事:一個是數列的「起始數字」,另一個則是該數列的「重複性規則」。
「起始數字」就是該數列最開始的數字,數列設計者可以任意給定數值。但它不一定只限定在第一個數字,也可以是前二個數字,甚或前三個數字。
什麼是「重複性規則」?它是用來發展該數列數字的公式,在起始數字後的所有延伸數字皆來自起始數字與重複性規則的運用。重複性規則不一定是單層,有可能是多層次。
如果對「起始數字」與「重複性規則」非常沒概念的話,請看下面的例子。
舉個非常非常簡單例子,我們設計一個數列,數列的某個數字是前一個數字自加,當該數列第一個數字是 1 時,我們可以得到接下來的數字依序是 2(1+1)、4(2+2)、8(4+4)、16(8+8)、……。
以上例 1、2、4、8、16…這個數列來說,「1」這個數字是該數列的「起始數字」,而「數列的某個數字是前一個數字自加」這個條件即是該數列的「重複性規則」。
根據這個規則,我們可以推導出 16 的下一個數字是 32(16+16)。
再舉一個有趣的例子:0、1、4、15、64、___,有誰看得出 64 的下一個數字是什麼嗎?答案是 325。也許你們有興趣與小孩一起研究研究該數列的重複性規則為何。
(提示:這個例子的起始數字是 0 。)
我帶的小孩在國小一年級就開始帶他們玩這類數學推理遊戲,還讓他們自行設定數列互相測試對方。小孩玩得蠻高興的,因為他們不是被迫單向吸收學解題,更可以發揮自己的想像力去設計規則、創造自己的數列讓別人解決,當題目變成遊戲關卡時,數學就變活潑了。
回到開樓的數列:8、16、256、__
我這邊提供一種解法供各位參考,先將原數列做變形(但數值不變):
原數列: 8、 16、 256、 _________
變形一: 8x1、 8x2、 8x32、 _________
變型二:8x2^0、8x2^1、8x2^5、 __________
原數列轉化型態至變型二時,可以發現 2 的冪次有重複性規則出現,即某數字的冪次為「前項位置 x 該項位置 - 1」。
以 16 來說,即是 8 x 2^(1x2-1)= 8 x 2^1
以 256 來說,即是 8 x 2^(2x3-1) = 8 x 2^5
(第一個位置的數字 8 是起始數字,用以推衍其後的數值。)
根據這個重複性規則,我們可以推出第四個數字為:
8 x 2^(3x4-1) = 8 x 2^11 = 8 x 2048 = 16384
所以原題的數列依序為:8、16、256、16384。
8=2^3
16=2^4
256=2^8
指數3,4,8間距為1,4
依據等差級數下一個數字為7
推論下一個數字是2^(8+7)=2^15=32768
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結論:我個人認為這沒有標準答案, 推論過程應重於結果, 這才是我們的教育要重視的地方
數列的規則很有趣,可是牽涉到指數律的話,至少要國中程度以上吧!
Jessy發表於2016-01-16 07:45:35
開樓那題不是我設計的,那對國小學生而言的確會有難度,畢竟涉及到符號定義的認識。不過,二樓以後的題目,國小學生就可以玩一玩,那是我刻意用小學生的認知程度去設計的。
數列的設計與分析在孩子小時候就可以開始做,有一點要注意的,就是樓主提醒的符號認知問題,我們的目的並不是要狂操小孩超前學習進度,而是透過不同方式的觀察,讓他們對於目前的學習進度有更深刻的認識、培養更紮實的基礎。
8=2^3 16=2^4 256=2^8 指數3,4,8間距為1,4 依據等差級數下一個數字為7 推論下一個數字是2^(8+7)=2^15=32768 =================================== 結論:我個人認為這沒有標準答案, 推論過程應重於結果, 這才是我們的教育要重視的地方
絳朱草發表於2016-01-17 07:10:04
關於樓主的看法,我分幾部分說明:
一、樓主的解法出現了我在四樓提醒的先射箭再畫靶的問題,所以解法是不對的。樓主並沒有在數列既有數字裡歸納出重複性規則。
二、什麼叫「等差」?你必須在一串數字裡找出有重複性出現的同額差距才能叫等差,意思是你要從既有資料中先看到這樣的現象才能這麼說,而不是你從還沒看到的資料中任意猜測/認定它是什麼。
「等差」它是被定義好的、有特定用法的,不可以我愛怎麼用就怎麼用。不然牛頓也可以牽拖砸在他頭上的蘋果是樹精丟的。但牛頓為何最後不牽拖樹精卻留下萬有引力公式?因為後者可重複性驗證,而前者卻不行。
舉例,「1、3、5、7、…」這個數列你可以說它是等差數列(「前後數字差 2」這個規則重複出現了二次以上)。
但「1、3、…」這個你就不能說它是等差數列(因為既有數字無法歸納出重複性規則)。1 和 3 的確是差 2,但你沒看到第三個數字,就不能硬斷定它和前一數字也差 2,因為你無法證明這個說法是否為真,而這違反了等差的定義。
樓主的解說裡,「8=2^3 16=2^4 256=2^8 指數3,4,8間距為1,4 」,間距 1、4 為不規則跳躍,也看不出等差,所以不該逕以等差定義為下一個未知數給定任一數值。
三、樓主有句話我很認同:「推論過程應重於結果, 這才是我們的教育要重視的地方」。我還要補充的是,推論必須有所本,要有所根據,且必須遵守數學基本定義,這是我教邏輯推理要傳達給小孩的一個重要觀念,而不是狂練題型做表面功夫給家長看。
(原作者於 2016-01-18 02:02:52 重新編輯過)