包含除和等分除

2006-12-02

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vivin chang：
有同事問我有關"包含除"和"等分除"的問題~~
她小孩的老師在低年級教除法時，告訴學生被除數和商的單位要一樣，所以如果遇到像這種包含除的題目＂有24個人，每6個人分成一組，可以分成幾組?"就得列成這樣的式子：24/()=6。
而如果是像等分除的"有24個人，平均分成4組，每一組有幾個人?"就要列成：24/4=()。
我同事的疑問是：一定要這樣列式嗎？如果不這樣列式，對以後學代數時會不會有概念上的混淆？
我的想法是像前者的題目，應該可直接以24/6來思考就好，而印象中也沒有除法中的被除數和商要同樣單位的限制，應該是看孩子所思考的方向與策略，只要他能理解每個數字代表的意義及彼此間的關係就好了。
但不列成那樣的式子，對於以後數學概念會不會造成混淆，我直覺是應該不會，但也無法確定，有沒有比較明確的答案呢？
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廟婆：
這位老師是把「等分除」視為除法唯一的意義，
所以包含除的問題，也要把它與等分數連結。
其實包含除的問題，在認知上孩子反而比較容易了解，在等分除的例子上，有時候還得連結到包含除，如分成4 組，第一次分時分掉4 人，第二次又分掉了8 人…
對於低年級的孩子而言，算式只是表達想法與記錄想法的工具。而高年級的孩子在長期的解題經驗累積之後，自然會理解被除數、除數與商之間的關係。那時候他們可以自由的轉換 24÷（）=4、
（）÷6=4與4×（）=24…
甚至有關「倍」的題目，如24 是4 的幾倍，這類問題以包含數來連結，比較自然，因為孩子之前在包含除的解題經驗中，理解了包含除可以找到一個數是由幾個單位組成的，除非在這邊老師堅持要學生寫出4×（ ）=24這類的式子。
這樣並不會造成混淆，反倒是老師如此堅持，讓孩子在剛開始學習的時候，造成恐懼。
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寬廣媽：
我覺得這個老師沒把除法的算式所代表的意義，讓孩子了解耶。
甚至不清楚『÷』號的意思。
"有24個人，平均分成4組，每一組有幾個人?"
對低年級的學生，應該先讓他們實地平分看看。
就像廟婆說的：
每組分一人，第一次可以分掉4人
每組分一人，第二次可以分掉8人
每組分一人，第三次可以分掉12人
每組分一人，第四次可以分掉16人
.....
每組分一人第六次可以分掉24人，剛好分完。
可以先問孩子：
每組每次分一人，
可以分幾次分完？
把等分除的問題，轉換成包含除問題。
這樣根據孩子各自的合成運思階段，
可能產生三種策略：
1.用減法：
24-4=20
20-4=16
16-4=12
....
4-4=0
共減了6次一次一人所以每組6人
2.用加法：
4+4=8
8＋4=12
12＋4=10
………..
20＋4=24

3.用乘法：
4*1=4
4*2=8
4*3=12
.....
4*6=24
等大約三年級，才將這些經驗整合到除法算式。
孩子要知道『÷』是平分被除數。
24個人被分，
所以寫成24÷。
除數在等分除是指：每次每一組分一人,一次分幾人。
所以寫成：
24÷4
24÷4=( )
在這裡是指24個人被分，每次每一組分一人,一次分4人，可以分幾次?
這樣，孩子才能真正了解除法算式的意義。
若沒有將等分除轉成包含除的概念，
到了分數除以分數時，會有想法上的阻礙。
例如：
1/3÷1/4如果用等分除的想法，就會有和實際情況相差異的困境。
像想成1/3條蛋糕分給1/4個人就比較難想。
但若用『包含除』的想法想成：
有1/3條蛋糕，把原來一條蛋糕的1/4條裝成一盒，那1/3條蛋糕可以裝幾盒？
（這是我建議寬寬用包含除的想法想，他的思考策略。）
這時可以用畫圖及再細分的策略，就能看出：
1/4條=3/12條
1/3條=4/12條
3/12條裝一盒，4/12條剛好可以裝1盒及1/3盒等於1又1/3盒。